这里0＜p≤0.5，限定了正割的长度。当p→0时，正割内积的极限即是黑林格积分。对于离散向量，计算公式见式（D.10）：

    当s＝1时，正割的定义等价于离散黑林格内积。根据p或s值，正割内积和模给出了数据的平滑程度，可以度量向量之间的差别。对于含有小范围噪声的实验数据，或因数值计算稳定性而导致的模型预测数据也有较小的噪声，正割提供筛选功能对不含潜在噪声的曲线进行比较。最后，综合欧几里德内积和正割内积后可以定义混合内积，即在欧几里德模排序与正割比较的函数形式之间进行一个均衡，简单对两种内积采用取权重后加和，见式（D.11）：

D.3 示例
     在图D.1中，两向量之间的距离，是14.1，相对差是0.056。两条曲线仅峰值不同，比较峰值即可全面对比两者之间吻合程度，与依据式（D.2）得出的计算结果相同。如果曲线复杂，峰值比较法将不再适用。后续几个例子也能说明这一点。

    对于上面的例子，。可以看出，两向量之间的角度代表了两向量之间的匹配程度。当夹角的余弦接近1，两条曲线彼此重合，即完全相同。

    图D.2是关于实验数据与三个模型预测结果相比较的例子。三个模型的预测结果具有相同的峰值，模型1是实验数据乘以0.9以后的结果。模型2与模型1有相同的峰值，与模型1不同的是，模型2的峰值向左漂移了25 s。模型3与模型1、模型2有相同的峰值，但存在一个以实验数据峰值为中心的20 s的平台区。如果仅比较峰值，可以看出这三种模型与实验数据存在10％的差别，但却无法辨识三种模型之间的差别。
    表D.2给出了相对差以及实验数据向量与三种模型的预测结果向量之间的余弦，可以看出模型1最接近于实验数据，其次是模型2和模型3，很显然，模型1是最优的，有相同的函数形式和同步峰值，只是比实验数据略小；相反，模型2的峰值相对于实验数据的偏差最大；模型3峰值是平稳区，其变化趋势与实验结果一致。

 

    模型1的向量形式为，简化为。相对差即，等于0.1。类似地，模型1的预测结果曲线与实验结果曲线的夹角余弦值为1.0。

    根据欧几里德相对差与余弦这两个参数可以对所有模型给出适当的评价。作为这种方法的应用实例，在表D.3中将CFAST模型模拟结果与5种不同尺度火灾实验的结果进行了比较，实验内容主要包括以下几个方面：
    a）单房间火灾实验，房间内布置软垫沙发作为燃烧物，能够较好代表真实火源的特性（参见参考文献[14]）；
    b）与前一实验类似，仍为单房间火灾实验，房间内布置普通家具作为燃烧物，更能代表真实火灾情况（参见参考文献[15]）；
    c）三个房间的组合构筑物火灾实验，引用的数据是从简单稳定的煤气燃烧器火灾实验重复11次后所得数据的平均值；
    d）多房间结构建筑内的系列火灾实验，采用的是更复杂的气体燃烧器的火灾实验，（参见参考文献[16]）；
    e）开展一系列的全尺寸实验（包括楼梯井有或没有加压情况），评估区域烟气控制系统（参见参考
    文献[17]）。楼梯井没有加压，实验在一幢八层的宾馆里进行，宾馆的每一层楼有多个房间、楼梯与所有楼层连接。从众多相同的实验中选取数据，说明使用模和内积进行比较的等价性（参见参考文献[18]）。表D.2给出了混合相对差模、方程式（D.1），以及按照五种实验工况进行模拟得到的结果向量与实验数据向量之间夹角的余弦。为了便于理解，图D.3给出针对表D.3中一个变量参数的实验数据与模型预测结果的比较。
    图D.3中比较的参数是一个单房间火灾实验中的上层烟气温度。在这个实验中，模拟结果与测量值有明显的相似性。在两种测量位置上，峰值温度都出现在大致相同的时刻，而且实验数据的峰值温度高于采用模型计算得到的温度。相对差的模与余弦均很好地反映了这些差异。模拟结果相对差的模稍微高于实验点的相对差的模（分别是0.36和0.31）。所有的曲线形状相似，两种曲线余弦（0.93和0.95）值很接近。
    对于需要考察的模型和实验，采用上述这些方法可以将模型计算与实验结果的比较进行量化。